Cách xét dấu trong bảng biến thiên

      71

Khảo sát chiều biến thiên của hàm số $y=f\left( x \right)$ dựa vào bảng xét dấu ${y}"$.

Bạn đang xem: Cách xét dấu trong bảng biến thiên

Phương pháp giải bài tìm khoảng đồng biến ngịch biến của hàm số

■ Bước 1. Tìm tập xác định D của hàm số. Tính đạo hàm ${y}"={f}"\left( x \right)$.

■ Bước 2. Tìm các điểm tại đó ${f}"\left( x \right)=0$ hoặc${f}"\left( x \right)$ không xác định.

■ Bước 3. Sắp xếp các điểm theo thứ tự tăng dần và lập bảng xét dấu của ${y}"$.

Dựa vào quy tắc xét dấu đã nêu để xét dấu cho ${y}"$.

■ Bước 4. Kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến dựa vào bảng xét dấu của ${y}"$.

Bài tập tìm khoảng đồng biến nghịch biến có đáp án

Bài tập 1: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau

a) $y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2$ b) $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có: ${y}"=3{{x}^{2}}-6x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=2 \\ \end{array} \right.$

Bảng biến thiên (xét dấu ${y}"$):

*

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right)$.

b) TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có: ${y}"=4{{x}^{3}}-4x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=0 \\ {} x=\pm 1 \\ \end{array} \right.$

Bảng biến thiên (xét dấu ${y}"$):

*

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -1;0 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 0;1 \right)$

Bài tập 2: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau

a) $y=-{{x}^{3}}+3x-2$ b) $y={{x}^{4}}-4{{x}^{3}}+2$

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có: ${y}"=-3{{x}^{2}}+3=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=1 \\ \end{array} \right.$

Bảng biến thiên (xét dấu ${y}"$):

*

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -1;1 \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( 1;+\infty \right)$.

b) TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có: ${y}"=4{{x}^{3}}-12{{x}^{2}}=4{{x}^{2}}\left( x-3 \right)$

Bảng biến thiên (xét dấu ${y}"$):

*

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( 3;+\infty \right)$, nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;3 \right)$.

Bài tập 3: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau

a) $y=\frac{x+3}{x-1}$. b) $y=\frac{3x+1}{x+1}$.

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Ta có: ${y}"=\frac{-4}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}0\text{ }\left( \forall x\in D \right)$

Bảng biến thiên (xét dấu ${y}"$):

*

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ và $\left( -1;+\infty \right)$.

Bài tập 4: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau

a) $y=x+\frac{4}{x}$. b) $y=\frac{{{x}^{2}}-x+9}{x-1}$.

Xem thêm: Bộ Hình Nền Máy Tính 2019 Dành Cho Máy Tính Điện Thoại, Hình Nền Đẹp 2019 Cho Máy Tính, Laptop

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$. Ta có: ${y}"=1-\frac{4}{{{x}^{2}}}=0\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=2 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right.$

Bảng biến thiên (xét dấu ${y}"$):

*

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -2;0 \right)$ và $\left( 0;2 \right)$.

b) TXĐ: $D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$

Ta có: ${y}"=\frac{\left( 2x-1 \right)\left( x-1 \right)-\left( {{x}^{2}}-x+9 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=\frac{{{x}^{2}}-2x-8}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=0\text{ }\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x=-2 \\ {} x=4 \\ \end{array} \right.$.

Bảng biến thiên (xét dấu ${y}"$):

*

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$ và $\left( 4;+\infty \right)$, hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -2;1 \right)$ và $\left( 1;4 \right)$.

Bài tập 5: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau

a) $y=\sqrt{16-{{x}^{2}}}$ b) $y=\sqrt{6x-{{x}^{2}}}$

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D=\left< -4;4 \right>$. Ta có: ${y}"=\frac{-2x}{2\sqrt{16-{{x}^{2}}}}=0\Leftrightarrow x=0$

Bảng biến thiên (xét dấu ${y}"$):

*

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -4;0 \right)$ và hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 0;4 \right)$.

b) TXĐ: $D=\left< 0;6 \right>$

Ta có: ${y}"=\frac{6-2x}{2\sqrt{6x-{{x}^{2}}}}=0\text{ }\Leftrightarrow x=3$.

Bảng biến thiên (xét dấu ${y}"$):

*

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 0;3 \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( 3;6 \right)$.

Bài tập 6: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau

a) $y=\sqrt{{{x}^{2}}-4x}$ b) $y=\sqrt{{{x}^{2}}-8x+12}$

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D=\left( -\infty ;0 \right>\cup \left< 4;+\infty \right)$. Ta có: ${y}"=\frac{2x-4}{2\sqrt{{{x}^{2}}-4x}}=0\Leftrightarrow x=2$

Bảng biến thiên (xét dấu ${y}"$):

*

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 4;+\infty \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;0 \right)$.

b) TXĐ: $D=\left( -\infty ;2 \right>\cup \left< 6;+\infty \right)$

Ta có: ${y}"=\frac{2x-8}{2\sqrt{{{x}^{2}}-8x+12}}=0\text{ }\Leftrightarrow x=4$.

Bảng biến thiên (xét dấu ${y}"$):

*

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( 6;+\infty \right)$, hàm số nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;2 \right)$.

Bài tập 7: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của các hàm số sau

a) $y=x+1-2\sqrt{{{x}^{2}}+3x+3}$ b) $y=2x+1-\sqrt{2{{x}^{2}}-8}$

Lời giải chi tiết

a) TXĐ: $D=\mathbb{R}$

Ta có: ${y}"=1-\frac{2\left( 2x+3 \right)}{2\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}-\left( 2x+3 \right)}{\sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}}=0\Leftrightarrow \sqrt{{{x}^{2}}+2x+3}=2x+3$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2x+3\ge 0 \\ {} {{x}^{2}}+2x+3=4{{x}^{2}}+12x+9 \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} 2x\ge -3 \\ {} \left< \begin{array} {} x=-1 \\ {} x=-2 \\ \end{array} \right. \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow x=-1$

Bảng biến thiên (xét dấu ):

*

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $\left( -1;+\infty \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$.

b) TXĐ: $D=\left( -\infty ;-2 \right>\cup \left< 2;+\infty \right)$

Ta có: ${y}"=2-\frac{4x}{2\sqrt{2{{x}^{2}}-8}}=\frac{2\sqrt{2{{x}^{2}}-8}-2x}{\sqrt{2{{x}^{2}}-8}}=0\Leftrightarrow \sqrt{2{{x}^{2}}-8}=2x\Leftrightarrow \left\{ \begin{array} {} x\ge 0 \\ {} 2{{x}^{2}}-8=4{{x}^{2}} \\ \end{array} \right.$ (vô nghiệm).

Bảng biến thiên (xét dấu ):

*

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $\left( -\infty ;-2 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$.